Een instinkertje: hoeveel keer op een dag overlappen de grote wijzer en de kleine wijzer van een klok?

Het intuïtieve antwoord ("24") is fout. Het is 22 keer.

Eén manier om het in te zien is dat de grote wijzer in 12 uur tijd 12 keer is rondgedraaid en dus 12 keer de kleine wijzer had moeten overlappen. Echter in die tijd is de kleine wijzer één keer rondgedraaid en "miste" de grote wijzer hem. Vandaar 11 keer overlap op 12 uur.

Een andere manier om te voelen: startend om 00h00 bevindt de kleine wijzer zich elk uur ongeveer vijf minuten verder. Maar het is wel in te zien dat het altijd nét iets meer is. Het gevolg is dat de laatse overlap ergens rond 10h55 is en dat de volgende overlap zich dan niet meer voordoet binnen het gebied van 11h van de kleine wijzer. Maar precies om 12h00.

Hier een analytische benadering.

Laat ons aannemen dat we starten op 00h00, uiteraard overlappende positie.
Zij `t` de tijd in minuten.
Zij `phi_m` de hoek zijn die de grote wijzer maakt, uitgedrukt in graden.
Zij `phi_h` de hoek zijn die de kleine wijzer maakt, uitgedrukt in graden.
Het is meteen duidelijk dat `phi_m = t/60*360 = 6*t`.
en dat `phi_h = t/(60*12)*360 = t/2`.
Het punt nu is om te vinden waar `phi_m = phi_t` op een veelvoud van 360 graden na.
We zoeken dus de tijdstippen waarvoor `phi_m = phi_h + n*360` waarbij n een geheel getal is.
Als we de uitdrukkingen invullen wordt dat `6*t = t/2 + n*360` of uitgewerkt `(6-1/2)*t = 11/2*t = n*360`.
Dus de uitdrukkingen van de tijd waarvoor er overlap is: `t = n*360*2/11 = n*720/11`.
Aangezien we ons willen beperken tot een dag moet `t<60*24` of dus `n*720/11<60*24` of `n<60*24*11/720` of `n<22`. Geldige waarden voor n zijn dus 0, 1, 2, .. 21. Dat zijn de 22 momenten van overlap.

Overigens kunnen we uit de uitdrukking `t=n*720/11` ook de juiste momenten van overlap berekenen. Uitgerekend via excel en afgerond op de minuut: