In de wiskunde is een irrationaal getal, grof gezegd, een getal dat niet als een breuk kan geschreven worden. Een beroemd voorbeeld is `sqrt(2)`.

Het bewijs dat `sqrt(2)` een irrationaal getal is, is zeker geen "rocket-science". Maar wel een leuk bewijs uit het ongerijmde)! Hier gaan we.

Hulpgegeven 1: Het kwadraat van een even getal is een even getal

Een even getal is per definitie eentje dat als een tweevoud kan geschreven worden, dus bvb `2*a`. Dus het kwadraat is dan `2*a*2*a = 2*(2*a^2)`, een even getal want geschreven als een tweevoud.

Hulpgegeven 2: Het kwadraat van een oneven getal is een oneven getal

Een oneven getal is eentje dat dat niet als een tweevoud kan geschreven worden en ligt dus altijd tussen 2 even getallen in. Het kan geschreven worden als `2*a+1`. Dus het kwadraat is dan `(2*a+1)^2 = 4*a^2 + 4*a + 1 = 2*(2*a^2+2*a) + 1`, een oneven getal want geschreven als een tweevoud + 1.

Bewijs uit ongerijmde dat `sqrt(2)` irrationaal is

Veronderstel dat `sqrt(2)` wél als een breuk kan geschreven worden, dan zou `sqrt(2) = a/b` zijn. We nemen hierbij aan dat a en b natuurlijke getallen zijn én dat de breuk niet verder kan vereenvoudigd worden. (als het bvb `12/8` zou zijn dan herleiden we naar `3/2` (a=3, b=2).

Als dus `sqrt(2) = a/b` dan geeft kwadrateren van beide leden: `2 = a^2/b^2` of `a^2 = 2 * b^2` (1). Dus `a^2` is even. Volgens onze 2 hulpgegevens kan dat niet anders betekenen dan dat a even is. Of dus dat we kunnen schijven `a = 2*c`.

Brengen we dat dan in in (1): `(2*c)^2 = 2 * b^2` of `4*c^2 = 2*b^2` of `2*c^2 = b^2`. Dus ook `b^2` is even. Wat betekent dat volgens onze hulpgegevens ook b even is.

Uit deze redenering volgt dus dat, als we veronderstellen dat `sqrt(2) = a/b`, waarbij `a/b` maximaal is vereenvoudigd, er dan volgt dat a even is en b even is. Maar dat is een flagrante contradictie aangezien we veronderstelden dat `a/b` al maximaal was vereenvoudigd en nu blijkt dat teller en noemer een tweevoud (even) zijn!

Dus `sqrt(2)` kan niet als een maximaal vereenvoudigde breuk `a/b` worden geschreven en is dus irrationaal ...