Een enkele keer kan een gesprek met een bankbediende verrassend interessant zijn! Hoeveel jaar duurt het om een kapitaal te verdubbelen wanneer de interest x% is? Simpel: 72/x.

Dus wanneer de interest 3% is op jaarbasis, dan duurt het 72/3 = 24 jaar om het kapitaal te verdubbelen.

Zo iets kan de aandacht van een inge-nieur trekken uiteraard! Wat is hier gaande? Laat mij beginnen met de formule voor samengestelde interest: `(1+i)^n` geeft het kapitaal na n periodes bij interest i (waarbij 3% uitgedrukt wordt als 0.03). We willen dus weten wanneer dit aanleiding geeft tot een verdubbeling. Dus moeten we `(1+i)^n=2` oplossen. Dit kunnen we niet oplossen zonder via logaritmes te passeren: `n*ln(1+i) = ln(2)` of dus `n = ln(2)/ln(1+i)`. Dat geeft wiskundig exact het aantal periodes nodig om te verdubbelen.

In de volgende stap kijken we even verder naar `ln(1+i)`. Dit kunnen we schrijven als een Taylorreeks: `ln(1+i) = i - 1/2*i^2 + 1/3*i^3 - 1/4*i^4 + ....`. Voor "voldoene kleine i" (en welke bank geeft nu grote interesten?) kan dit vereenvoudigd worden tot `ln(1+i) = i`.

Deze twee combinerend kunnen we dus afleiden dat `n = ln(2)/i`. Nu `ln(2) = 0.693` (benaderend) en dus `n = 0.693/i`, waarbij i nog altijd als 0.03 geschreven wordt voor 3% interest. Als we i als 3 willen schrijven moeten we ook de teller met 100 vermenigvuldigen en dus `n = 69.3/i`. Dat is eigenlijk de exacte formule voor wat we in de wiskunde een eerste orde benadering noemen.

De rest van het verhaal is wat meer vuistregel en 'ad-hoc' geïllustreerd in excel. De belangrijkste verbetering is dat een periode (n) geheeltallig moet zijn, ofte een geheel aantal jaren door naar boven af te ronden. Dat is de exacte waarde zoals gevonden in kolom B van de excel. De volgende blokken tonen dan de verschillende uitkomsten, altijd naar boven afgerond, voor `69.3/i`, `69/i`, `70/i`, `71/i`, `72/i`. Het toont ook voor elke blok de fout t.o.v. de exacte waarde in kolom B en de gemiddelde (absolute) fout. Wat je inderdaad merkt is dat als je het effect van naar boven afronden meeneemt, `72/i` de kleinste gemiddelde fout vertoont. En in heel veel gevallen zit het er gewoon knal op. Weer iets bijgeleerd!